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【題目】在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質期．從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到一瓶已過保質期的概率為　_________　．（結果用最簡分數表示）

【答案】

【解析】

試題本題是一個古典概型，試驗發生所包含的事件是從30個飲料中取2瓶，共有C302種結果，滿足條件的事件是至少取到一瓶已過保質期的，它的對立事件是沒有過期的，共有C272種結果，計算可得其概率；根據對立事件的概率得到結果．

解：由題意知本題是一個古典概型，

試驗發生所包含的事件是從30個飲料中取2瓶，共有C302=435種結果，

滿足條件的事件是至少取到一瓶已過保質期的，

它的對立事件是沒有過期的，共有C272=351種結果，

根據對立事件和古典概型的概率公式得到P=1﹣==，

故答案為

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【題目】袋子A和B中裝有若干個均勻的紅球和白球，從A中摸出一個紅球的概率是，從B中摸出一個紅球的概率為p．

（1）從A中有放回地摸球，每次摸出一個，有3次摸到紅球即停止．求恰好摸5次停止的概率；

（2）若A，B兩個袋子中的球數之比為，將A，B中的球裝在一起后，從中摸出一個紅球的概率是，求p的值．

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【題目】根據下列關系式，算出數列的前4項，然后猜想它的通項，并用數學歸納法證明你的猜想.

（1）；

（2）；

（3）.

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【題目】一排個空位，四人就坐其中的個位子.

（1）若每人左、右兩邊都有空位，有幾種坐法？

（2）若個空位中，個相連，另個也相連，但個不連在一起，有幾種坐法？

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【題目】如圖，已知平面平面，，.求：

（1）與所成角；

（2）與平面所成角；

（3）二面角大小.

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【題目】在數列中，，若（為常數），則稱為“等差比數列”.下列是對“等差比數列”的判斷：

①不可能為；②等差數列一定是等差比數列；

③等比數列一定是等差比數列；④等差比數列中可以有無數項為.

其中正確的判斷是（ ）.

A.①②B.②③C.③④D.①④

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【題目】定義：如果數列的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為“三角形”數列，對于“三角形”數列，如果函數使得仍為一個“三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”，.

（1）已知是首項為2，公差為1的等差數列，若是數列的“保三角形函數”，求的取值范圍；

（2）已知數列的首項為2010，是數列的前項和，且滿足，證明是“三角形”數列；

（3）根據“保三角形函數的定義，對函數，和數列1，提出一個正確的命題，并說明理由.

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【題目】在直角坐標平面上的一列點，簡記為．若由構成的數列滿足，其中為方向與軸正方向相同的單位向量，則稱為點列．

（1）判斷，是否為點列，并說明理由；

（2）若為點列，且點在點的右上方．任取其中連續三點，判斷的形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），并予以證明；

（3）若為點列，正整數，滿足，求證：．

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【題目】今年2月份，我國武漢地區爆發了新冠肺炎疫情，為了預防疫情蔓延，全國各大醫藥廠商紛紛加緊生產口罩，某醫療器械生產工廠為了解目前的生產力，統計了每個工人每小時生產的口罩數量（單位：箱），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中每個工人每小時的產量均落在[10，70]內，數據分組為[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）、，已知前三組的頻率成等差數列，第三組、第四組、第五組的頻率成等比數列，最后一組的頻率為．

（1）求實數a的值；

（2）在最后三組中采用分層抽樣的方法隨機抽取了6人，現從這6人中隨機抽出兩人對其它小組的工人進行生產指導，求這兩人來自同一小組的概率．

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