Question

【題目】已知是底面邊長為的正四棱柱，是和的交點.

（1）若正四棱柱的高與底面邊長相等，求二面角的大�。ńY果用反三角函數值表示）；

（2）若點到平面的距離為，求正四棱柱的高.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意，正四棱柱是棱長為1的正方體，連結，則是二面角的平面角，由此能求出二面角的大小.
（2）設正四棱柱的高為，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出正四棱柱的高.

（1）由題意，正四棱柱是棱長為的正方體，

連結，因為，為的中點，所以，

又，所以是二面角的平面角.

因為平面，所以，

所以，.　

所以，二面角的大小為；

（2）設正四棱柱的高為.

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，

，，.

設平面一個法向量為，

由得即

取，得，　

所以，點以平面的距離為，　

解得.　　

所以，正四棱柱的高為.