Question

【題目】已知正三棱柱， 是的中點．

求證：（1）平面；

（2）平面平面．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）連接，交于點，連結，由棱柱的性質可得點是的中點，根據三角形中位線定理可得，利用線面平行的判定定理可得平面；（2）由正棱柱的性質可得平面，于是，再由正三角形的性質可得，根據線面垂直的判定定理可得平面，從而根據面面垂直的判定定理可得結論.

試題解析：（1）連接，交于點，連結，

因為正三棱柱，

所以側面是平行四邊形，

故點是的中點，

又因為是的中點，

所以，

又因為平面， 平面，

所以平面．

（2）因為正三棱柱，所以平面，

又因為平面，所以，

因為正三棱柱， 是的中點，

是的中點，所以，

又因為，所以平面，

又因為平面，

所以平面 平面．

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直及面面垂直的證明，屬于中檔題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.