Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數的單調增區間為，單調減區間為；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）不等式等價于，由（Ⅰ） ①， 所以原不等式等價于，構造求最值即可.

試題解析:（Ⅰ）函數的定義域為，

則，解得，所以．此時，，由得，得 ，

所以函數的單調增區間為，單調減區間為．

（Ⅱ）不等式等價于，由（Ⅰ）在上的最大值為，

所以 ①，

令，所以，，所以，

當時，，所以在 上單調遞增，所以，所以在 上單調遞增，所以，即，

因為，所以，

所以，時，．

點晴：本題主要考查函數單調性，及不等式的證明問題.要求單調性，求導比較導方程的根的大小，解不等式可得單調區間，要證明不等式恒成立問題可轉化為構造新函數證明新函數單調，只需要證明其導函數大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個不等式，我們可以先根據題意構造新函數，求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉化之后，就可以假設相對應的函數，然后利用導數研究這個函數的單調性、極值和最值，圖像與性質，進而求解得結果.