Question

【題目】已知函數，．

（1）若，求函數的最值；

（2）討論函數的零點個數．

Answer 1

【答案】（1）最小值為，最大值為1；（2）當或時，在內有1個零點；當時，在內無零點．

【解析】

（1）求出導函數，令，求出極值，再求出端點值即可求解.

（2）由題意將問題轉化為函數的零點個數，對求導，根據導函數結合定義域分三種情況討論①當時；②當時；③當時，分別求出函數的最值和單調區間，從而可判斷出函數零點的個數.

（1）若，則，，

令，解得；

而，，，

故函數的最小值為，最大值為1．

（2）令，

因為，故，

令，故問題轉化為函數的零點個數；

而，

①當時，即，當時，，

故在上單調遞減，

，，

故當，即時，在上恒成立，

當時，在內無零點；

當，即，

即時，，

由零點存在性定理可知，此時在內有零點，

因為函數在內單調遞減，此時在內有一個零點；

②當時，即，當時，，在上單調遞增，

，，

故當，即時，，

由零點存在性定理，此時在內有零點，

因為在內單調遞增，故僅有1個零點；

當時，，此時在內無零點；

③當時，即，

當時，，

當時，．

則函數在上單調遞減，在上單調遞增，

故，

故，此時在內無零點；

綜上所述，當或時，在內有1個零點；

當時，在內無零點．