Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的值域；

（2）在中，角所對的邊分別為，，，求的值；

（3）請敘述余弦定理（寫出其中一個式子即可）并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2；（3）詳見解析

【解析】

（1）推導出f（x）cosx＝2sin（x），由此能求出函數f（x）的值域．

（2）由f（B）＝2，得到f（B）＝2sin（B）＝2，B∈（0，π），求出B，由余弦定理得：3＝a2+c2﹣2accos，由△ABC面積S得ac＝1，由此能求出a+c．

（3）建立坐標系，用解析法即可證明余弦定理．

（1）∵．

∴f（x）sinx﹣cosx＝2sin（x），

∴由x∈R，可得：f（x）＝2sin（x）∈[﹣2，2]；

（2）∵△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，f（B）＝2，

∴f（B）＝2sin（B）＝2，B∈（0，π），

∴B，

∵b，∴由余弦定理得：3＝a2+c2﹣2accos，

∵△ABC面積S，∴acsinBac，解得ac＝1，

∴a2+c2＝3+2accos3﹣ac＝2，

∴（a+c）2＝a2+c2+2ac＝2+2＝4，

∴a+c＝2．

（3）證明：余弦定理為：a2＝b2+c2﹣2bccosA．

下用解析法證明：以A為原點，射線AB為x軸正向，建立直角坐標系，則得A（0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）．

由兩點距離公式得：

a2＝|BC|2＝（c﹣bcosA）2+（﹣bsinA）2＝b2+c2﹣2bccosA．