Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在處的切線方程；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

(1)對函數求導,求,,然后利用點斜式方程可求得答案;

(2)對函數求導,構造函數判斷其在上單調遞增,分類討論時:判斷函數單調遞增函數,然后再由求得的取值范圍;時,使得,判斷在上函數單調遞減,上單調遞增,求得函數最小值然后利用和進行適當地轉化即可求出參數的取值范圍,最后總結討論結果得出的取值范圍.

解：（1）當時,,,

則,,由點斜式方程可得:化簡得:,

即切線方程為.

（2）由,得,

令,則.

所以在上單調遞增,且.

①當時,,函數單調遞增,

由于恒成立,則有,即,

所以滿足條件;

②當時,則存在,使得,當時,,則,單調遞減;當時,,則,單調遞增.

所以，

又滿足,即,

所以,則,即，得.

又，令，則，

可知，當時，，則單調遞減，

所以，

此時滿足條件.

綜上所述,的取值范圍是.