Question

【題目】設是定義在上的函數，若對任何實數以及中的任意兩數、，恒有，則稱為定義在上的函數．

（1）證明函數是定義域上的函數；

（2）判斷函數是否為定義域上的函數，請說明理由；

（3）若是定義域為的函數，且最小正周期為，試證明不是上的函數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不是函數；（3）證明見解析．

【解析】

（1）證明如下：對任意實數及，

有

，

即，

∴是函數；

（2）不是函數，

說明如下（舉反例）：

取，，，

則

，

即，

∴不是函數；

（3）假設是上的函數，

若存在且，使得

（i）若，

記，，，則，且，

那么

，

這與矛盾；

（ii）若，

記，，，同理也可得到矛盾；

∴在上是常數函數，

又因為是周期為的函數，

所以在上是常數函數，這與的最小正周期為矛盾.

所以不是上的函數.