Question

【題目】已知函數，對于任意的實數，恒成立.

（1）求的值；

（2）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據和，可知，也為極小值，可得必要條件，求得；接著證明充分性，當時，利用導數可得函數單調性，從而知充分性成立，由此得到結果；

（2）設，整理得到，構造函數，利用導數可證得，從而說明，得到，解不等式即可得到所證結論.

（1）由題意得：.

且恒成立，是的最小值，也是的極小值，

則其必要條件，則，解得：；

當時，，，

當時，；當時，，

在上單調遞減，在上單調遞增，

，可知充分性成立；

綜上所述：.

（2）由（1）可知：在上單調遞減，在上單調遞增，

不妨設，，

，

，令，則，

令，

則

，

令，則，

在上單調遞減，，，

在上單調遞增，

，，，，

，，

，又，，

，

即，解得：或（舍），

綜上所述：.