Question

【題目】已知定義在上的奇函數滿足．且當時，．若對于任意，都有，則實數的取值范圍為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

f（x）為周期為4的函數，且是奇函數．0在函數定義域內，故f（0）＝0，得a＝1，先得到[﹣1，3]一個周期內f（x）的圖象，求出該周期內使f（x）≥1﹣log23成立的x的范圍，從而推出的范圍，再分t的范圍討論即可．

解：由題意，f（x）為周期為4的函數，且是奇函數．0在函數定義域內，故f（0）＝0，得a＝1，

所以當0≤x≤1時，f（x）＝log2（x+1），

當x∈[﹣1，0]時，﹣x∈[0，1]，此時f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣log2（﹣x+1），

又知道f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），

所以f（x）以x＝1為對稱軸．且當x∈[﹣1，1]時f（x）單調遞增，

當x∈[1，3]時f（x）單調遞減．

當x∈[﹣1，3]時，令f（x）＝1﹣log23，得x，或x，

所以在[﹣1，3]內當f（x）＞1﹣log23時，x∈[，]．

設g（x），若對于x屬于[0，1]都有，

因為g（0）∈[，]．

故g（x）∈[，]．

①當0時，g（x）在[0，1]上單調遞減，

故g（x）∈[t，][，]．得t≥0，無解．

②0≤t≤1時，，此時g（t）最大，g（1）最小，

即g（x）∈[t﹣1，][，]．得t∈[0，1]．

③當1＜t≤2時，即，此時g（0）最小，g（t）最大，

即g（x）∈[，][，]．得t∈（1，2]，

④當t＞2時，g（x）在[0，1]上單調遞增，

故g（x）∈[，t][，]．解得，t∈（2，3]，

綜上t∈[0，3]．

故填：[0，3]．