Question

【題目】已知函數（，）.

（1）當（e為自然對數的底數）時，

（i）若在上恰有兩個不同的零點，求實數m的取值范圍；

（ii）若（），求在上的最大值；

（2）當時，，，數列滿足.求證：.

Answer 1

【答案】（1）（i）.（ii）（2）見解析

【解析】

（1）時，（i），，判斷函數的單調性，求解函數的最值，推出m的范圍.（ii）（），.通過

①當時，②當時，③當時，利用函數的導數，求解函數的最值.

（2）時，，，轉化求解函數的通項公式，利用不等式求解結果即可.

（1）時，（i），，

故在上單調遞減；在上單調遞增；

故在上恰有兩個相異實根，

故，解得.

（ii）（），∴.

①當時，，在上為增函數，則此時；

②當時，，在上為增函數，

故在上為增函數，此時；

③當時，，在上為增函數，在上為減函數，

若，即時，故在上為增函數，在上為減函數，

此時，

若，即時，在上為增函數，則此時；

綜上所述：.

（2）時，，，

即，

所以.