Question

【題目】(A)在直角坐標系中，以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的參數方程為 (為參數)， 是曲線上的動點， 為線段的中點，設點的軌跡為曲線.

(1)求的坐標方程；

(2)若射線與曲線異于極點的交點為，與曲線異于極點的交點為，求.

(B)設函數.

(1)當時，求不等式的解集；

(2)對任意， 不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(A) (1) (為參數)，(2)

(B) (1) ；(2) .

【解析】試題分析：

A

(1)結合題意可得的極坐標方程是 (為參數)，

(2)聯立極坐標方程與參數方程，結合極徑的定義可得

B

(1)由題意零點分段可得不等式的解集是；

(2)由恒成立的條件得到關于實數a的不等式組，求解不等式可得實數的取值范圍是.

試題解析：

(A)解：(1)設，則由條件知，由于點在曲線上，

所以，即，

從而的參數方程為 (為參數)，

化為普通方程即，

將， 所以曲線后得到

極坐標方程為.

(2)曲線的極坐標方程為，

當時，代入曲線的極坐標方程，得，

即，解得或，

所以射線與的交點的極徑為，

曲線的極坐標方程為.

同理可得射線與的交點的極徑為.

所以.

(B)解：(1)當時，

由解得.

(2)因為且.

所以只需，解得.