Question

【題目】已知函數在處取得極值.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數在上恰有兩個不同的零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（-∞，-1）遞減；在（-1，+∞）遞增；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，得到關于的方程，求出，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

（2）問題等價于在[-2，2]上恰有兩個不同的實根．令g（x）=xex+x2+2x，求出函數的單調性求出g（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

試題解析：

（1）f'（x）=ex+xex+2ax+2，

∵f（x）在x=1處取得極值， ∴f'（-1）=0，解得a=1．經檢驗a=1適合，

∴f（x）=xex+x2+2x+1，f'（x）=（x+1）（ex+2），

當x∈（-∞，-1）時，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）遞減；

當x∈（-1+∞）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）遞增．

（2）函數y=f（x）-m-1在[-2，2]上恰有兩個不同的零點，

等價于xex+x2+2x-m=0在[-2，2]上恰有兩個不同的實根，

等價于xex+x2+2x=m在[-2，2]上恰有兩個不同的實根．

令g（x）=xex+x2+2x，∴g'（x）=（x+1）（ex+2），

由（1）知g（x）在（-∞，-1）遞減； 在（-1，+∞）遞增．

g（x）在[-2，2]上的極小值也是最小值； ． 又，g（2）=8+2e2＞g（-2）， ∴，即．