Question

【題目】．已知函數

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的極值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）把代入原函數解析式中，求出函數在時的導數值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；（2）求出函數的導函數，由導函數可知，當時， ，函數在定義域， 上單調遞增，函數無極值，當時，求出導函數的零點，由導函數的零點對定義域分段，利用原函數的單調性得到函數的極值.

試題解析：函數f（x）的定義域為（0，+∞），．

（1）當a=2時，f（x）=x﹣2lnx，，因而f（1）=1，f′（1）=﹣1，所以曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=﹣（x﹣1），即

（2）由，x＞0知：

①當a≤0時，f′（x）＞0，函數f（x）為（0，+∞）上的增函數，函數f（x）無極值；

②當a＞0時，由f′（x）=0，解得x=a，又當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，從而函數f（x）在x=a處取得極小值，且極小值為f（a）=a﹣alna，無極大值，綜上，當a≤0時，函數f（x）無極值；當a＞0時，函數f（x）在x=a處取得極小值a﹣alna，無極大值．

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線以及利用導數求函數的極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.