Question

【題目】已知三棱錐(如圖一)的平面展開圖(如圖二)中，為邊長等于的正方形，△和△均為正三角形，在三棱錐中，

（1）求證：；

（2）求與平面所成的角的大小；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）取的中點，連，，通過證明平面，可以得到；

（2）根據題意可以證明平面，從而可知就是與平面所成的角；容易計算得到其大小；

（3）取的中點，連，，易證得就是二面角的平面角，然后在直角三角形中求得結果即可.

（1）證明：取的中點，連，，如圖：

根據展開圖可知，，，所以，，

又，所以平面，

因為平面，所以

（2）根據展開圖可知，且，

所以，又，所以，

所以平面，所以就是與平面所成的角，

且，

所以與平面所成的角的大小為.

（3）取的中點，連，，如圖：

由（2）可知，由（1）知，且，

所以平面，所以，

根據等腰三角形的性質易得，又，所以平面，

所以，所以就是二面角的平面角，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

由題知二面角為銳角，所以.