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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線的左焦點在直線上．

（1）若直線與曲線交于兩點，求的值；

（2）求曲線的內接矩形的周長的最大值．

【答案】（1）2；（2）16．

【解析】

試題分析：（1）求出曲線的普通方程和焦點坐標，將直線的參數方程代入曲線的普通方程，利用根與系數的關系和參數的幾何意義，即可得到結果；（2）用橢圓參數方程設矩形的四點，面積用三角函數表示，再利用三角函數的有界性求解．

試題解析：（1）已知曲線 的標準方程為，則其左焦點為．

則，將直線的參數方程與曲線聯立，

得，則

（2）由曲線的方程為，可設曲線上的定點，

則以為頂點的內接矩形周長為，

因此該內接矩形周長的最大值為16．

練習冊系列答案
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已知直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，且曲線的左焦點在直線上．

（1）若直線與曲線交于兩點，求的值；

（2）求曲線的內接矩形的周長的最大值．

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