Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的圖象在處的切線方程；

（2）若函數在上有兩個不同的零點，求實數的取值范圍；

（3）是否存在實數，使得對任意的，都有函數的圖象在的圖象的下方？若存在，請求出最大整數的值；若不存在，請說理由.

（參考數據： ， ）.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）最大整數的值為.

【解析】試題分析：（1）求函數的導數，利用導數的幾何意義進行求解；（2）利用參數分離法，轉化為兩個函數有兩個不同的交點即可；（3）的圖象在的圖象的下方，等價為對任意的， 恒成立，利用參數分離法，結合函數的單調性和導數之間的關系進行期間即可.

試題解析：（1）因為，所以，則所求切線的斜率為，

又，故所求切線的方程為.

（2）因為，則由題意知方程在上有兩個不同的根.

由，得，

令，則，由，解得.

當時， ， 單調遞減；當時， ， 單調遞增，

所以當時， 取得最小值為.

又， （圖象如右圖所示），

所以，解得.

（3）假設存在實數滿足題意，則不等式對恒成立.

即對恒成立.

令，則，

令，則，

因為在上單調遞增， ， ，且的圖象在上不間斷，所以存在，使得，即，則，

所以當時， 單調遞減；當時， 單調遞增，

則取到最小值 ，…14分

所以，即在區間內單調遞增.

所以，

所以存在實數滿足題意，且最大整數的值為.