Question

【題目】已知函數f(x)＝2a·4x－2x－1.

(1)當a＝1時，解不等式f(x)>0；

(2)當a＝，x∈[0,2]時，求f(x)的值域．

Answer 1

【答案】（1）(0，＋∞)；（2）[－1,11].

【解析】

（1）將a=1代入，求出函數的解析式，將2x看作一個整體，根據二次不等式的解法，求出2x的范圍，結合指數函數的圖象和性質，可得答案．

（2）將a=代入，求出函數的解析式，利用換元法，將問題轉化為二次函數在定區間上的最值問題，求出函數最值后，得到函數的值域．

(1)當a＝1時，f(x)＝2·4x－2x－1.

f(x)>0，即2·(2x)2－2x－1>0，

解得2x>1或2x<－ (舍去)，

∴x>0，∴不等式f(x)>0的解集為(0，＋∞)．

(2)當a＝時，f(x)＝4x－2x－1，x∈[0,2]．

設t＝2x.∵x∈[0,2]，∴t∈[1,4]．

∴y＝g(t)＝t2－t－1 (1≤t≤4)．

畫出g(t)＝t2－t－1 (1≤t≤4)的圖像(如圖)，

可知g(t)min＝g(1)＝－1，g(t)max＝g(4)＝11，

∴f(x)的值域為[－1,11]．