Question

【題目】已知橢圓的長軸長為6，且橢圓與圓的公共弦長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點P（0，1）作斜率為的直線與橢圓交于兩點，，試判斷在軸上是否存在點，使得為以為底邊的等腰三角形，若存在，求出點的橫坐標的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據長軸長為6便可直接求出a的大小，然后因為橢圓和已知圓均關于x軸對稱，便可得到交點坐標，然后利用待定系數法即可得到橢圓方程。

（2）設直線的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式，求得AB中點M的坐標，利用即可求得m的表達式，利用基本不等式性質，即可求得m的取值范圍。

（1）由題意可得，所以．

由橢圓與圓：的公共弦長為，恰為圓的直徑，

可得橢圓經過點，所以，解得．

所以橢圓的方程為．

（2）直線的解析式為，設，，的中點為．假設存在點

，使得為以為底邊的等腰三角形，則．由得，

故，所以，．

因為，所以，即，

所以．

當時，，所以．

綜上所述，在軸上存在滿足題目條件的點，且點的橫坐標的取值范圍為．