Question

【題目】如圖在四棱錐中，側棱平面，底面是直角梯形，，，，，為側棱中點.

（1）設為棱上的動點，試確定點的位置，使得平面平面，并寫出證明過程；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）當為中點時，滿足平面平面；證明見解析（2）

【解析】

（1）當為中點時，滿足平面平面，在梯形中，可得，，即四邊形為平行四邊形，得到，在中，根據、為中點，得到，再利用面面平行的判定定理得證.

（2）根據、、兩兩垂直，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量，利用二面角的向量公式求解.

（1）當為中點時，滿足平面平面，

證明如下：

在梯形中，因為，，，

所以，，

即四邊形為平行四邊形，所以，即平面，

在中，因為、分別為、中點，所以，即平面.

又因為，平面，平面，

所以平面平面.

（2）由題知、、兩兩垂直，如圖，

分別以、、為、、軸建立空間直角坐標系.

則，，，，，，，

設平面的一個法向量為，

則，所以，所以

又知平面，所以平面的一個法向量為，

所以，

由圖可知二面角是鈍角

所以二面角的余弦值為.