Question

【題目】某校設計了一個實驗考察方案：考生從6道備選題中隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，規定：至少正確完成其中的2道題便可通過．己知6道備選題中考生甲有4道能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是 ，且每題正確完成與否互不影響．
（I） 求甲考生通過的概率；
（II） 求甲、乙兩考生正確完成題數的概率分布列，和甲、乙兩考生的數學期望；
（Ⅲ）請分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵考生從6道備選題中隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作， 規定：至少正確完成其中的2道題便可通過．
己知6道備選題中考生甲有4道能正確完成，2道題不能完成，
∴甲考生通過的概率P=1﹣ = ．
（Ⅱ）由題意知甲考生正確完成題數X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，
P（X=3）= = ，
∴X的可能取值為：

X	1	2	3
P

EX= +2× +3× = ．
乙兩考生正確完成題數Y的可能取值為0，1，2，3，
P（Y=0）= （ ）3= ，
P（Y=1）= = ，
P（Y=2）= = ，
P（Y=3）= = ，
∴Y的分布列是：

Y	0	1	2	3
P

EY= =2．
（Ⅲ）DX=（1﹣2）2× +（2﹣2）2× +（3﹣2）2× = ，
∵Y∽B（3， ），∴DY=3× =
∴DX＜DY，
∵P（X≥2）= ，P（Y≥2）= ≈0.74
∴P（X≥2）＞P（Y≥2）
①從做對題數的數學期望考查，兩人水平相當；從做對題數的方差考查，甲較穩定；
②從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大，
因此，可以判斷甲的實驗操作能力強
【解析】（Ⅰ）考生甲要通過實驗考查，必須正確完成至少2道，利用對立事件概率計算公式能求出甲考生通過的概率．（Ⅱ）確定考生甲正確完成實驗操作的題目個數的取值，求出相應的概率，可得考生甲正確完成題目個數ξ的分布列和數學期望；乙兩考生正確完成題數Y的可能取值為0，1，2，3，且Y～B（3， ），由此能求出考生乙正確完成題目個數ξ的分布列和數學期望．（Ⅲ）設考生乙正確完成實驗操作的題目個數為η，求出相應的期望與方差，比較，即可得出結論．