【題目】已知函數
，
.
（1）討論
的單調性；
（2）若有兩個極值點
，
，且
，證明：
.
【答案】（1）見解析.（2）見解析.
【解析】分析：(1)先求導數，再根據二次方程
=0根得情況分類討論：當
時，
.∴
在
上單調遞減. 當
時，根據兩根大小再分類討論對應單調區間， (2)先化簡不等式
消m得
，再利用導數研究
，
單調性，得其最小值大于-1，即證得結果.
詳解：（1）由
，得
，
.
設
，.
當時，即
時，
，.
∴在上單調遞減.
當時，即
時，
令
，得
，
，
.
當
時，
，
在
上，
，在
上，
，
∴在
上單調遞增，在
上單調遞減.
綜上，當時，在上單調遞減，
當時，在
，
上單調遞減，在
上單調遞增，
當
時，在
上單調遞增，在上單調遞減.
（2）∵有兩個極值點
，
，且，
∴由（1）知有兩個不同的零點，，
，，且，此時，
，
要證明
，只要證明
.
∵
，∴只要證明成立.
∵
，∴
.
設，，
則
，
當時，
，
∴
在上單調遞增，
∴
，即，
∴有兩個極值點，，且
時，
.
口算能手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學從中任取3道題解答.
（I）求張同學至少取到1道乙類題的概率；
（II）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題.設張同學答對甲類題的概率都是
，答對每道乙類題的概率都是
，且各題答對與否相互獨立.用
表示張同學答對題的個數，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】當x∈R，|x|＜1時，有如下表達式：1+x+x2+…+xn+…= 
兩邊同時積分得： 
dx+ 
xdx+ x2dx+…+ xndx+…= dx
從而得到如下等式：1× 
+ ×（ ）2+ 
×（ ）3+…+ 
×（ ）n+1+…=ln2
請根據以上材料所蘊含的數學思想方法，計算：
× + 
×（ ）2+ 
×（ ）3+…+ 
×（ ）n+1= ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某次測試中，卷面滿分為100分，考生得分為整數，規定60分及以上為及格.某調研課題小組為了調查午休對考生復習效果的影響，對午休和不午休的考生進行了測試成績的統計，數據如下表：
（1）根據上述表格完成下列列聯表：
（2）判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為成績及格與午休有關”？
（參考公式：
，其中
.）
| 0.010 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某保險公司針對企業職工推出一款意外險產品，每年每人只要交少量保費，發生意外后可一次性獲賠50萬元.保險公司把職工從事的所有崗位共分為
、
、
三類工種，根據歷史數據統計出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）.
（Ⅰ）根據規定，該產品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%，試分別確定各類工種每張保單保費的上限；
（Ⅱ）某企業共有職工20000人，從事三類工種的人數分布比例如圖，老板準備為全體職工每人購買一份此種保險，并以（Ⅰ）中計算的各類保險上限購買，試估計保險公司在這宗交易中的期望利潤.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱錐
中，底面
是矩形，
平面，AB 1，AP AD 2.
（1）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（2）若點M，N分別在AB，PC上，且
平面，試確定點M，N的位置．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為保障高考的公平性，高考時每個考點都要安裝手機屏蔽儀，要求在考點周圍1 km內不能收到手機信號，檢查員抽查某市一考點，在考點正西約
km/h的的B處有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機接通電話，以每小時12千米的速度沿公路行駛，最多需要多少時間，檢查員開始收不到信號，并至少持續多長時間該考點才算合格？
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