Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若對定義域每的任意恒成立，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）證明：對于任意正整數，不等式恒成立。

Answer 1

【答案】. 。

（Ⅰ）當時，若，則，若，則，故此時函數的單調遞減區間是，單調遞增區間是；

當時， 的變化情況如下表：

	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值	單調遞增

所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是；

當時， ，函數的單調遞增區間是；

當時，同可得，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是。

（Ⅱ）由于，顯然當時， ，此時對定義域每的任意不是恒成立的，

當時，根據（1），函數在區間的極小值、也是最小值即是，此時只要即可，解得，故得實數的取值范圍是。

（Ⅲ）當時， ，等號當且僅當成立，這個不等式即，當時，可以變換為，

在上面不等式中分別令，

所以

【解析】試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的最值和極值、恒成立問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，對求導， 的根為a和1，比較a和1的大小，分四種情況分別判斷的正負，得到函數的單調性；第二問，由，當時， ，此時對定義域內的任意x不是恒成立的，當時，利用導數求得在區間上取得最小值為，由最小值大于等于0求得a的取值范圍；第三問，結合第二問的結論，知時， 恒成立，即，再利用不等式的累加得到結論．

試題解析：（1）

當時， 在上遞減，在上遞增

當時， 在， 上遞增，在上遞減

當時， 在上遞增

當時， 在， 上遞增， 上遞減

（2）由（1）知當時

當時， 不恒成立

綜上：

（3）由（2）知時， 恒成立

當且僅當時以“=”

時，

……