Question

【題目】已知在遞增等差數列{an}中，a1=2，a3是a1和a9的等比中項． （Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）若bn= ，Sn為數列{bn}的前n項和，是否存在實數m，使得Sn＜m對于任意的n∈N+恒成立？若存在，請求實數m的取值范圍，若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由{an}為等差數列，設公差為d，則an=a1+（n﹣1）d， ∵a3是a1和a9的等比中項，
∴ =a1a9 ， 即（2+2d）2=2（2+8d），
解得d=0（舍）或d=2，
∴an=2+2（n﹣1）=2n．
（Ⅱ）存在 ．
bn= = ，
∴數列{bn}的前n項和Sn= +…+ = ，
∴存在實數m ，使得Sn＜m對于任意的n∈N+恒成立
【解析】（I）利用等差數列與等比數列的通項公式即可得出．（Ⅱ）存在 ．由于bn= = ，利用“裂項求和”方法即可得出．
【考點精析】本題主要考查了等差數列的通項公式（及其變式）和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握通項公式：或；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．