Question

【題目】已知函數 ，其導函數為.

（1）設，若函數在上有且只有一個零點，求的取值范圍；

（2）設，且，點是曲線上的一個定點，是否存在實數，使得成立？證明你的結論

Answer 1

【答案】（1）或（2）不存在實數，使得成立.

【解析】試題分析：（1）求得的解析式，令 ，可得，設，求得的導數和單調區間、極值；結合零點個數只有一個，即可得到的范圍；（2）假設存在實數，使得成立，求得的導數，化簡整理可得，考慮函數的圖象與的圖象關于直線對稱，上式可轉化為，設 ，上式即為，令，求出導數，判斷單調性即可判斷不存在.

試題解析：（1）當時， 由題意只有一解.

由得令則令得或

當時， 單調遞減， 的取值范圍為

當時， 單調遞增， 的取值范圍為

當時， 單調遞減， 的取值范圍為

由題意，得或，從而或，

所以，當或時，函數只有一個零點.

（2）

假設存在，則有

即

不妨設，則，兩邊同除，得

令

令

在上單調遞增

對恒成立，

在上單調遞增

又對恒成立，即（*）式不成立，

不存在實數，使得成立.