Question

【題目】已知，，函數.

（1）若，且，求的值；

（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若關于的方程在上有兩個不同的實數根，求正數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，（2）（3）或或

【解析】

（1）由向量數量積的坐標運算及輔助角公式可得，再解方程即可；

（2）原命題可轉化為，恒成立，再求實數的取值范圍；

（3）原方程可以化為，則或，再討論的取值范圍使得方程有兩個解即可.

解：（1）由，，

又，則，

即，

又因為，則，或，

則或，

又，所以，.

（2）當時，，可得，

令，則，即恒成立，

則可得.

（3）可知函數在區間和上為增函數，在上為減函數，畫出函數在上的圖象.

原方程可以化為，則或，

①當時，則，要使得原方程有兩個不同的實數解，只需，即，

②當時，則，可知原方程的根為，；

③當時，則，可知原方程有3個根，不符合題意；

④當時，，可知原方程的根為，；

⑤當時，則，可知原方程有3個根，不符合題意.

綜上可知，當或或時，原方程有兩個不同的根.