Question

【題目】已知函數f（x）=x2+ax+b，實數x1，x2滿足x1∈（a-1，a），x2∈（a+1，a+2）．

（Ⅰ）若a＜-，求證：f（x1）＞f（x2）；

（Ⅱ）若f（x1）=f（x2）=0，求b-2a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）-＜b-2a＜

【解析】

（Ⅰ）由條件，根據作差法，分解因式，由不等式的性質即可得證；

（Ⅱ）由條件f（x1）=f（x2）=0，x1∈（a-1，a），x2∈（a+1，a+2），結合二次函數的圖象可得f（a-1）＞0．f（a）＜0，f（a+1）＜0，f（a+2）＞0，化簡整理，結合b，b-2a的范圍，即可得到所求范圍．

（Ⅰ）證明：因為a＜-，x1＜x2，x1+x2＜2a+2，

所以f（x2）-f（x1）=（x2-x1）（x1+x2+a）＜（x2-x1）（3a+2）＜0，

即f（x1）＞f（x2）；

（Ⅱ）因為f（x1）=f（x2）=0，x1∈（a-1，a），x2∈（a+1，a+2），

所以，

所以max{-2a2+3a-1，-2a2-6a-4}＜b＜min{-2a2，-2a2-3a-1}．

由max{-2a2+3a-1，-2a2-6a-4}＜min{-2a2，-2a2-3a-1}，

解得-＜a＜0．

由于max{-2a2+a-1，-2a2-8a-4}＜b-2a＜min{-2a2-2a，-2a2-5a-1}，

而且max{-2a2+a-1，-2a2-8a-4}≥-，

min{-2a2-2a，-2a2-5a-1}≤，

所以-＜b-2a＜．