Question

【題目】已知兩個不共線的向量，夾角為，且，，為正實數．

（1）若與垂直，求的值；

（2）若，求的最小值及對應的x的值，并指出此時向量與的位置關系．

（3）若為銳角，對于正實數m，關于x的方程兩個不同的正實數解，且，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，的最小值為，垂直；（3）時，，時，，

時，.

【解析】

（1）根據垂直關系計算得到，再根據向量夾角公式得到答案.

（2）計算，根據二次函數性質得到最值，計算得到位置關系.

（3）根據題意平方得到二次方程，根據根與系數關系得到范圍，討論和，三種情況，計算得到答案.

（1），故，

故，故.

（2），

當時，最小為，故的最小值為，

此時，故向量與垂直.

（3），即，展開整理得到，

故，且，解得.

取得到，即，

當，即，即時，；

當，即且，即時，

；

當，即，即時，.

綜上所述：時，，時，，

時，.