【題目】已知函數
，
是
的導函數。
（1）證明：在
內存在唯一的極小值點；
（2）證明：當
時，有且只有兩個零點.
【答案】（1）見解析；（2）見解析.
【解析】
（1）令
，可知函數
在
單調遞增，利用零點存在定理并結合函數在上的單調性可證明出函數
在內存在唯一的極小值點；
（2）利用導數證明出函數
在區間
上為增函數，結合零點存在定理可證明出函數在區間只有一個零點，利用（1）中的結論可證明出函數在區間
上沒有零點，再由
以及函數在
上單調遞增，可證明出函數有且只有兩個零點.
（1）令，則
，
顯然函數在單調遞增.
因為
，
，
（因為
）
故存在唯一的
使得
.
所以當
時，
，當
時，
，
所以函數
在區間
上單調遞減，在區間
上單調遞增，
所以函數，即在區間存在唯一的極小值點
，且；
（2）當
時，
，函數單調遞增，
，
，
，
所以，函數在區間上存在唯一的零點.
當
時，由（1）當時，，函數單調遞減，
，
，所以存在
，使得
，
當
，
，當
，
，
所以在先遞增后遞減，，，
函數在沒有零點；
因為，所以
是函數的第二個零點；
時，，函數單調遞增，
，沒有零點.
綜上所述，當
時，函數有且只有兩個零點.
快捷英語周周練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若數列
同時滿足條件：①存在互異的
使得
（
為常數）；
②當
且
時，對任意
都有
，則稱數列
為雙底數列.
（1）判斷以下數列
是否為雙底數列（只需寫出結論不必證明）；
①
； ②
； ③
（2）設
，若數列
是雙底數列，求實數
的值以及數列
的前
項和
；
（3）設
，是否存在整數
，使得數列
為雙底數列？若存在，求出所有的
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某生態農莊有一塊如圖所示的空地，其中半圓O的直徑為300米，A為直徑延長線上的點，
米，B為半圓上任意一點，以AB為一邊作等腰直角
，其中BC為斜邊．
若
；，求四邊形OACB的面積；
現決定對四邊形OACB區域地塊進行開發，將區域開發成垂釣中心，預計每平方米獲利10元，將
區域開發成親子采摘中心，預計每平方米獲利20元，則當
為多大時，垂釣中心和親子采摘中心獲利之和最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四邊形
中，
，
，四邊形
為矩形，且
平面，
.
（1）求證：
平面
；
（2）點
在線段
上運動，當點在什么位置時，平面
與平面
所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2011年國際數學協會正式宣布，將每年的3月14日設為國際數學節，來源于中國古代數學家祖沖之的圓周率。公元263年，中國數學家劉徽用“割圓術”計算圓周率，計算到圓內接3072邊形的面積，得到的圓周率是
.公元480年左右，南北朝時期的數學家祖沖之進一步得出精確到小數點后7位的結果，給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數值，密率
和約率
。大約在公元530年，印度數學大師阿耶波多算出圓周率約為
（
）.在這4個圓周率的近似值中，最接近真實值的是（ ）
A.B.C.D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，已知曲線
：
和曲線
：
，以極點
為坐標原點，極軸為
軸非負半軸建立平面直角坐標系.
（1）求曲線和曲線的直角坐標方程；
（2）若點
是曲線上一動點，過點作線段
的垂線交曲線于點
，求線段
長度的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知四棱錐S﹣ABCD的底面為矩形，SA⊥底面ABCD，點E在線段BC上，以AD為直徑的圓過點 E．若SA＝
AB＝3，則△SED面積的最小值為_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設橢圓
的一個頂點與拋物線
的焦點重合，
、
分別是橢圓
的左、右焦點，其離心率
橢圓右焦點的直線
與橢圓交于
、
兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線，使得
？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.
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