【題目】在直四棱柱
中，底面
是菱形，
，
，
、
分別是線段
、
的中點.
（1）求證：
；
（2）求平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）連接
，交
于點
，利用菱形對角線的性質得出
，由直棱柱的性質得出
平面
，可得出
，由直線與平面垂直的判定定理可證明出
平面
，由此可證明出
；
（2）以為坐標原點，
，
分別為
，
軸，過點垂直于平面的直線為
軸，建立如圖的空間直角坐標系
，然后利用空間向量法計算出平面與平面
所成銳二面角的余弦值.
（1）連接，交于點.
因為四邊形是菱形，所以
.
因為四棱柱
是直四棱柱，所以平面.
因為
平面，所以
.
因為
，所以平面.
因為
平面，所以；
（2）由（1）知，以為坐標原點，，分別為，軸，過點垂直于平面的直線為軸，建立如圖的空間直角坐標系.
因為
，所以
，因為底面四邊形為菱形，且
，
所以
，
，又因為
、
分別是線段
、
的中點，
所以
，
，
，
所以
，
.
設平面的一個法向量為
，則
.
令
，得
.
易知
為平面的一個法向量.
設平面與平面所成的銳二面角為
，
所以
，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖為我國數學家趙爽
約3世紀初
在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現在提供5種顏色給其中5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不同，則
區域涂色不相同的概率為
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
中，
，又數列
滿足：
.
(1)求證:數列是等比數列；
(2)若數列是單調遞增數列，求實數
的取值范圍；
(3)若數列的各項皆為正數，
，設
是數列
的前
項和，問：是否存在整數，使得數列
是單調遞減數列?若存在,求出整數；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從某校隨機抽取100名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數據，整理得到頻數分布表和頻率分布直方圖如下．
組號 | 分組 | 頻數 |
1 | [0，2） | 6 |
2 | [2，4） | 8 |
3 | [4，6） | 17 |
4 | [6，8） | 22 |
5 | [8，10） | 25 |
6 | [10，12） | 12 |
7 | [12，14） | 6 |
8 | [14，16） | 2 |
9 | [16，18） | 2 |
合計 | 100 |
（1）從該校隨機選取一名學生，試估計這名學生該周課外閱讀時間少于12小時的頻率；
（2）求頻率分布直方圖中的a，b的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一種分形幾何圖形，由波蘭數學家謝爾賓斯基在1915年提出，它是一個自相似的例子，其構造方法是：
（1）取一個實心的等邊三角形（圖1）；
（2）沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形；
（3）挖去中間的那一個小三角形（圖2）；
（4）對其余三個小三角形重復（1）（2）（3）（4）（圖3）.
制作出來的圖形如圖4，….
若圖1（陰影部分）的面積為1，則圖4（陰影部分）的面積為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，已知橢圓
：
的離心率是
，斜率不為0的直線
：
與相交于
、
兩點，與
軸相交于點
.
（1）若
、
分別是的左、右焦點，當經過且
時，求
的值；
（2）試探究，是否存在點
，使得
？若存在，請寫出滿足條件的
、
的關系式；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】至
年底，我國發明專利申請量已經連續
年位居世界首位，下表是我國
年至年發明專利申請量以及相關數據.
注：年份代碼
～
分別表示～.
（1）可以看出申請量每年都在增加，請問這幾年中哪一年的增長率達到最高，最高是多少？
（2）建立
關于
的回歸直線方程（精確到
），并預測我國發明專利申請量突破
萬件的年份.
參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點A(3
，－3)出發，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉，且旋轉一周用時60秒．經過t秒后，水斗旋轉到P點，設P的坐標為(x，y)，其縱坐標滿足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)(t≥0，ω＞0，|φ|＜
)．則下列敘述錯誤的是( )
A.R＝6，ω＝
，φ＝－
B.當t∈[35,55]時，點P到x軸的距離的最大值為6
C.當t∈[10,25]時，函數y＝f(t)單調遞減
D.當t＝20時，|PA|＝6
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