Question

【題目】已知 .

（1）求的單調遞減區間；

（2）證明：當時， 恒成立.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間， 求得的范圍，可得函數的減區間；（2）令 ，利用導數研究函數的單調性可得時， ， 時， ，∴時， ，從而可得結論.

試題解析：（1）易得定義域為，

，解得或.

當時，∵，∴，

解得，∴的單調遞減區間為；

當時，

i.若，即時， 時， ，

時， ， 時， ，

∴的單調遞減區間為；

ii.若，即時， 時， 恒成立，

沒有單調遞減區間；

iii.若，即時， 時， ； 時， ，

時， ，∴的單調遞減區間為.

綜上： 時，單調遞減區間為； 時，單調遞減區間為；

時，無單調遞減區間； 時，單調遞減區間為.

（2）令 ，

則

.

令， ，

時， ， 時， ，

∴時， ，即時， 恒成立.

解得或， 時， ， 時，

，∴時， ，得證.