Question

【題目】將平面上每個點都以紅、藍兩色之一著色，證明：存在這樣的兩個相似三角形，它們的相似比為1995，并且每一個三角形的三個頂點同色。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

首先證明平面上一定存在三頂點同色的直角三角形.在平面上任作直線，則上必有兩點同色，設此兩點為，.過，分別作的垂線，.如果或上有與，同色的點，則

即為三頂點同色的直角三角形.如果與上除與外其余點均與，異色，則在上取異于的兩點，，并過作，垂足為，則即為三頂點同色的直角三角形.因此，平面上一定存在三頂點同色的直角三角形，設其中之一為.將對稱地補成矩形.用兩組分別平行于與的等分平行線將矩形等分成個與原矩形相似的小矩形.（如圖）

以下用反證法證明：若為奇數，則在這些小矩形中必有一個，它的頂點中至少有三個同色，即存在一個三頂點同色的小直角三角形.假設不存在三頂點同色的小直角三角形.線段上端點及分點共個，為偶數，因此上必有相鄰的兩點同色（若每相鄰兩點異色，則，亦應異色，與已知矛盾），不妨設為，.則，所在的小矩形的另兩個頂點必與，異色（否則已出現同色小三角形）.依次類推，可知矩形中，每條豎線上的兩頂點都同色.同理，線段上有相鄰兩點，同色，也有矩形，其中每條橫線上的兩頂點都同色.設矩形與的公共部分為小矩形，由以上所說，與同色且與同色，從而即是三頂點同色的小直角三角形.這與假設矛盾.因此必存在一個三頂點同色的小直角三角形.這個三頂點同色的小直角三角形與原直角三角形是相似的，相似比為，當時就是題目所要證明的結論.