Question

【題目】給定，，，所對的邊分別是，，，在所在平面作直線與的某兩邊相交，沿將折成一個空間圖形，將由分成的小三角形的不在上的頂點與另一部分的頂點連接，形成一個三棱錐或四棱錐。問：

（1）當時，如何作，并折成何種錐體，才能使所得錐體體積最大？（需詳證）

（2）當時，如何作，并折成何種錐體，才能使所得錐體體積最大？（敘述結果，不要證明）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由棱錐的體積高底面積，易知要使錐體體積最大，則折線的兩部分所在平面互相垂直。

如圖所設，，

于是，當沿折起，并與成直二面角時，所形成的錐體體積為

當且僅當且，即時成立。

所以，當與，邊交于，，，并且所在平面和四邊形所在平面垂直時，棱錐體積最大。

（2）當和，邊交于，，，并且所在平面和四邊形所在平面垂直時，錐體體積最大。

（2）的證明提示：

分三步討論。

第一步：證明滿足條件的必定截成一個以為底的等腰三角形。

1.如圖，如果，要證明當時，為最大。

2.如果（注意），則由所給條件，有。因此，當個重合時，最大。

3.如果從點或點出發考慮，我們也可以得到類似結構。

第二步：證明為問題要求的位置時，必與的兩鄰邊相交于，，并且。

第三步：討論的具體位置。