Question

【題目】已知橢圓的長軸長為4，右焦點為，且橢圓上的點到點的距離的最小值與最大值的積為1，圓與軸交于兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）動直線與橢圓交于兩點，且直線與圓相切，求的面積與的面積乘積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據題意，列出的方程，根據，求出的值即可求解；

（2）聯立直線和橢圓方程得到關于的一元二次方程，設，利用韋達定理和弦長公式求出的表達式，利用直線與相切得到的關系式，由題意知，，利用點到直線的距離公式分別求出點到直線的距離，據此即可得到的表達式，利用基本不等式求最值即可求解.

（1）設橢圓的焦距為，則由已知得，

解得，因為，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）由得，

，

設，則，

所以

，

因為直線與相切，所以點到直線的距離，即，

所以，由，得，

因為圓與軸交于兩點，所以，

所以兩點到直線的距離分別為，

所以的面積與的面積乘積為

，

因為，所以.

因此的面積與的面積乘積的取值范圍為.