Question

【題目】已知函數.

（1）當時，證明：；

（2）是否存在不相等的正實數m，n滿足，且？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，

【解析】

（1）題目等價，設，求導得到單調性，計算最值得到答案.

（2）問題轉化為方程有不等于1的正實根，，討論和，令，求導得到函數單調區間，得到在上存在零點，得到答案.

（1）當時，，即，也即.

令，則.

由得，或（舍去）.

當時，，是減函數；

當時，，是增函數.

所以，所以原不等式成立.

（2）由及得，即.

由于m，n為不相等的正實數.

所以問題轉化為關于x的方程有不等于1的正實根.

令，

當時，若，則，

若，則，

所以當時，方程沒有不等于1的正實根；

當時，令，得，

當時，，是減函數；當時，，是增函數，所以的最小值為，又.

當，即時，是函數唯一的零點，不符合；

當，即時，，.

令，則，

所以當時，，是減函數，當時，，是增函數，由此，顯然.

所以在上存在零點.

當，即時，，

類似地，，，所以在上存在零點.

綜上所述，的取值范圍是.