Question

【題目】如圖，幾何體中，為邊長為的正方形，為直角梯形，，，，，．

（1）求異面直線和所成角的大小；

（2）求幾何體的體積．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求異面直線所成的角，一般根據定義，過異面直線中的一條上某一點作中一條直線的平行線，把異面直線所成的角化為相交直線所夾的銳角或直角，而這可能通過在三角形中求得,如果圖形中有兩兩相互垂直且交于同一點的三條直線，那么我們可以建立空間直角坐標系，把異面直線所成的角轉化為空間兩向量的夾角，要注意異面直線所成的角的范圍是，而向量的夾角范圍是，解題時注意轉化；（2）這個幾何體我們要通過劃分，把它變成幾個可求體積的幾何體，如三棱錐和四棱錐，這兩個棱錐的體積都易求，故原幾何體的體積也易求得．

試題解析：（1）解法一：在的延長線上延長至點使得,連接.

由題意得，，，平面，

∴平面，∴，同理可證面.

∵ ，，

∴為平行四邊形，

∴.

則（或其補角）為異面直線和

所成的角. 3分

由平面幾何知識及勾股定理可以得

在中，由余弦定理得

．

∵ 異面直線的夾角范圍為，

∴ 異面直線和所成的角為． 7分

解法二：同解法一得所在直線相互垂直，故以為原點，所在直線

分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 2分

可得，

∴ ，

得. 4分

設向量夾角為，則

．

∵ 異面直線的夾角范圍為，

∴ 異面直線和所成的角為． 7分

（２）如圖，連結，過作的垂線，垂足為，則平面，且. 9分

∵ 11分

.

∴ 幾何體的體積為. 14分