Question

【題目】已知拋物線頂點在原點，焦點在軸上，拋物線上一點到焦點的距離為3，線段的兩端點， 在拋物線上.

（1）求拋物線的方程；

（2）若軸上存在一點，使線段經過點時，以為直徑的圓經過原點，求的值；

（3）在拋物線上存在點，滿足，若是以角為直角的等腰直角三角形，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）最小值為16.

【解析】試題分析：（1）根據拋物線的定義，丨QF丨=丨QQ1丨，即可求得p的值，即可求得拋物線方程；
（2）設AB的方程，代入橢圓方程，由，根據向量數量積的坐標運算及韋達定理，即可求得m的值；
（3）設， ， ，根據拋物線關于軸對稱，取，記， ，則有， ，所以， ， ，由，即，進而化簡求出，得： ， ，即可求得△ABD面積的最小值．

試題解析：

（1）設拋物線的方程為，拋物線的焦點為，則，所以，

則拋物線的方程為.

（2）設直線的方程為，要使以為直徑的圓經過原點，則只需即可，

聯立方程 ，則， ，

，

解得： .

（3）如圖所示，

設， ， ，根據拋物線關于軸對稱，取，記， ，

則有， ，所以， ， ，

又因為是以為頂點的等腰直角三角形，所以，

即，將代入得：

進而化簡求出，得： ，

則，可以先求的最小值即可，

，令，

則

，

所以可以得出當即時， 最小值為，此時，

即當， ， 時， 為等腰直角三角形，且此時面積最小，最小值為16.