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【題目】已知橢圓的離心率為，且過點，若點在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢點”.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若直線與橢圓C相交于A，B兩點，且A，B兩點的“橢點”分別為P，Q，以PQ為直徑的圓經過坐標原點，試判斷的面積是否為定值?若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由.

【答案】（1）（2）為定值，

【解析】

（1）根據橢圓的離心率為，得到，又過點，得到 ，聯立求解.

（2）設，則.聯立直線與橢圓的方程，由于以為直徑的圓經過坐標原點，所以，即從而得到，再求得弦長

，點o到直線的距離，得到再求解..

（1）根據題意得，

解得

所以橢圓的方程為.

（2）設，則.

由于以為直徑的圓經過坐標原點，所以，即.

由， ，即，

由韋達定理得 ， .

代入，得，

，

原點到直線AB的距離為：.

所以

所以的面積為定值.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，質點從正方體的頂點出發，沿正方體的棱運動，每經過一條棱稱之為一次運動，第一次運動經過，第二次運動經過，第三次運動經過，且對于任意的正整數，第次運動所經過的棱與第次運動所經過的棱所在的直線是異面直線，則經過2019次運動后，點到達的頂點為________點

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【題目】設函數，若過點可作三條直線與曲線相切，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】某手機廠商在銷售200萬臺某型號手機時開展“手機碎屏險”活動、活動規則如下：用戶購買該型號手機時可選購“手機碎屏險”，保費為元，若在購機后一年內發生碎屏可免費更換一次屏幕．該手機廠商將在這萬臺該型號手機全部銷售完畢一年后，在購買碎屏險且購機后一年內未發生碎屏的用戶中隨機抽取名，每名用戶贈送元的紅包，為了合理確定保費的值，該手機廠商進行了問卷調查，統計后得到下表（其中表示保費為元時愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例）；

（1）根據上面的數據求出關于的回歸直線方程；

（2）通過大數據分析，在使用該型號手機的用戶中，購機后一年內發生碎屏的比例為．已知更換一次該型號手機屏幕的費用為元，若該手機廠商要求在這次活動中因銷售該“手機碎屏險”產生的利潤不少于萬元，能否把保費定為5元？

x

10

20

30

40

50

y

0.79

0.59

0.38

0.23

0.01

參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為，

，

參考數據：表中的5個值從左到右分別記為，相應的值分別記為，經計算有，其中，．

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【題目】已知函數，

（1）若函數有個零點，求的取值范圍；

（2）若有兩個極值點，且，求證：

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【題目】已知橢圓的右焦點為，設直線與軸的交點為，過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點.

（1）若直線的傾斜角為，求的值；

（2）設直線交直線于點，證明：直線.

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【題目】如圖，已知是直角梯形，，垂直于平面，，．

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求平面與平面所成銳二面角的正切值．

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（1）當為何值時，直線是曲線的切線；

（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍.

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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系中，直線的參數方程為（其中為參數）.在以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸建立的極坐標系中，曲線的極坐標方程為，曲線的直角坐標方程為.

（1）求直線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線分別相交于異于原點的點，求的取值范圍.

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