Question

【題目】已知函數f（x）=9x﹣a3x+1+a2（x∈[0，1]，a∈R），記f（x）的最大值為g（a）．
（Ⅰ）求g（a）解析式；
（Ⅱ）若對于任意t∈[﹣2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立，求實數m的范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令u=3x∈[1，3]，則f（x）=h（u）=u2﹣3au+a2．

當 ≤2即a≤ 時，g（a）=h（u）min=h（3）=a2﹣9a+9；

當 ＞2即a＞ 時，g（a）=h（u）min=h（1）=a2﹣3a+1；

故g（a）=

（Ⅱ）當a≤ 時，g（a）=a2﹣9a+9，g（a）min=g（ ）=﹣ ；

當a 時，g（a）=a2﹣3a+1，g（a）min=g（ ）=﹣ ；

因此g（a）min=g（ ）=﹣ ；

對于任意任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立等價于﹣m2+tm≤﹣ ．

令h（t）=mt﹣m2，由于h（t）是關于t的一次函數，故對于任意t∈[﹣2，2]都有h（t）≤﹣ 等價于 ，

即 ，

解得m≤﹣ 或m≥

【解析】（Ⅰ）由題意可得，令u=3x∈[1，3]，得到f（x）=h（u）=u2﹣3au+a2，分類討論即可求得結果。
（Ⅱ）由已知先求出g（a）min=g（ ）=﹣ ；再根據題意可得﹣m2+tm≤ ，利用函數的單調性即可求得結果。
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．