Question

【題目】f（x）是定義在D上的函數，若對任何實數α∈（0，1）以及D中的任意兩數x1，x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），則稱f（x）為定義在D上的C函數.

（1）試判斷函數f1（x）＝x2，中哪些是各自定義域上的C函數，并說明理由；

（2）若f（x）是定義域為的函數且最小正周期為T，試證明f（x）不是R上的C函數.

Answer 1

【答案】（1）是C函數，不是C函數，理由見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據函數的新定義證明f1（x）＝x2是C函數，再舉反例得到不是C函數，得到答案.

（2）假設f（x）是R上的C函數，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n，討論f（m）＜f（n）和f（m）＞f（n）兩種情況得到證明.

（1）對任意實數x1，x2及α∈（0，1），有f1（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf1（x1）﹣（1﹣α）f1（x2）＝（αx1+（1﹣α）x2）2﹣αx12﹣（1﹣α）x22

＝﹣α（1﹣α）x12﹣α（1﹣α）x22+2α（1﹣α）x1x2＝﹣α（1﹣α）（x1﹣x2）2≤0，

即f1（αx1+（1﹣α）x2）≤αf1（x1）+（1﹣α）f1（x2），

∴f1（x）＝x2是C函數；

不是C函數，

說明如下（舉反例）：取x1＝﹣3，x2＝﹣1，α，

則f2（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf2（x1）﹣（1﹣α）f2（x2）＝f2（﹣2）f2（﹣3）f2（﹣1）0，

即f2（αx1+（1﹣α）x2）＞αf2（x1）+（1﹣α）f2（x2），

∴不是C函數；

（2）假設f（x）是R上的C函數，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）.

（i）若f（m）＜f（n），

記x1＝m，x2＝m+T，α＝1，則0＜α＜1，且n＝αx1+（1﹣α）x2，

那么f（n）＝f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2）＝αf（m）+（1﹣α）f（m+T）＝f（m），

這與f（m）＜f（n）矛盾；

（ii）若f（m）＞f（n），

記x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1，同理也可得到矛盾；

∴f（x）在[0，T）上是常數函數，

又因為f（x）是周期為T的函數，

所以f（x）在上是常數函數，這與f（x）的最小正周期為T矛盾.

所以f（x）不是R上的C函數.