Question

設函數.
（1）當，時，求函數的最大值；
（2）令，其圖象上存在一點，使此處切線的斜率，求實數的取值范圍；
（3）當，，時，方程有唯一實數解，求的值.

Answer 1

（1）函數的最大值為；（2）實數的取值范圍是；（3）.

解析試題分析：（1）將，代入函數的解析式，然后利用導數求出函數的最大值；（2）先確定函數的解析式，并求出函數的導數，然后利用導數的幾何意義將問題轉化為，利用恒成立的思想進行求解；（3）將，代入函數的解析式并確定函數的解析式，構造新函數，利用導數求出函數的極值，利用極值為零來求出參數的值.
試題解析：（1）依題意，的定義域為，
當，時，，，
由 ，得，解得；
由 ，得，解得或.
，在單調遞增，在單調遞減；
所以的極大值為，此即為最大值；
（2），，則有在上有解，
∴，
，
所以當時，取得最小值，；
（3）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，
設，則，
，，所以由得，
由得，所以在上單調遞增，
在上單調遞減，.
若有唯一實數解，則必有
，
所以當時，方程有唯一實數解.
考點：1.利用導數求函數的最值；2.函數不等式恒成立；3.參數分離法；4.函數的零點