Question

【題目】如圖，多面體是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）沿平面切除一部分所得，其中平面為原正三棱柱的底面，，點D為的中點.

(1)求證：平面；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

（1）設與交于點E，連接、，由題意可得四邊形是正方形，且，再由點D為的中點，平行且等于，求得CD，同理求得，得，可得，由線面垂直的判定可得；
（2）取BC的中點O，連接AO，可得AO⊥BC，由正棱柱的性質可得AO⊥平面，以O為坐標原點，向量、、分別為x、y，z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面CBD與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的平面角的余弦值.

(1)設與交于點E，連接、.

∵多面體是正三棱柱沿平面切除部分所得，，

∴四邊形是正方形，且.

∵點D為的中點，平行且等于，

∴.

同理，

∴.

∵E為的中點，

∴.

又∵，，

∴平面；

(2)取的中點O，連接.

∵為正三角形，.

由正棱柱的性質可得，平面平面，

且平面平面，

∴平面.

以點O為原點，向量、、分別為x、y，z軸正方向建立如圖所示空間直角坐標系.

則，，，，

，，.

設平面的一個法向量為，

則，

令，得，，即.

由（1）可知，平面的一個法向量為.

，

又∵二面角的平面角為銳角，

∴二面角的平面角的余弦值為.