Question

【題目】已知函數f (x)＝x2－aln x－1，函數F(x)＝.

(1)如果函數f (x)的圖象上的每一點處的切線斜率都是正數，求實數a的取值范圍；

(2)當a＝2時，你認為函數y＝的圖象與y＝F(x)的圖象有多少個公共點？請證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）(－∞，0]（2）沒有公共點

【解析】試題分析：（1）由函數f (x)的圖象上的每一點處的切線斜率都是正數，得到f ′(x)＝2x－＞0，即a＜2x2在(0，＋∞)上恒成立，轉為最值問題；

（2）原問題等價于的解的個數，即x2－2ln x－x＋2－2＝0的解的個數，構造新函數，研究函數的最值即可.

試題解析：

(1)∵f (x)＝x2－aln x－1的定義域為(0，＋∞)，函數f (x)的圖象上的每一點處的切線斜率都是正數，

∴f ′(x)＝2x－＞0在(0，＋∞)上恒成立.

∴a＜2x2在(0，＋∞)上恒成立，

∵y＝2x2＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴a≤0.

∴所求的a的取值范圍為(－∞，0].

(2)當a＝2時，函數y＝的圖象與y＝F(x)的圖象沒有公共點.證明如下：

當a＝2時，y＝＝，它的定義域為

{x|x＞0且x≠1}，F(x)的定義域為[0，＋∞).

當x＞0且x≠1時，由＝F(x)得x2－2ln x－x＋2－2＝0.

設h(x)＝x2－2ln x－x＋2－2，

則h′(x)＝2x－－1＋

＝.

∴當0＜x＜1時，h′(x)＜0，此時，h(x)單調遞減；

當x＞1時，h′(x)＞0，此時，h(x)單調遞增.

∴當x＞0且x≠1時，h(x)＞h(1)＝0，

即h(x)＝0無實數根.

∴當a＝2，x＞0且x≠1時， ＝F(x)無實數根.

∴當a＝2時，函數y＝的圖象與y＝F(x)的圖象沒有公共點.