Question

【題目】（12分）在數列中，對于任意，等式

成立，其中常數.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求證：數列為等比數列；

（Ⅲ）如果關于n的不等式的解集為

，求b和c的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）證明見解析；（3）， .

【解析】試題分析：（1）分別取n=1，n=2代入，即可得；（2）要證明數列為等比數列，先求出，為此由已知寫出，兩式相減，即可求出，再用等比數列的定義證明數列為等比數列.（3）先求出的和，不等式轉化為，再對b進行分類討論，進一步轉化為或，再由不等式的解集確定出求b和c的取值范圍.

試題解析：

（Ⅰ）解：因為，

所以， ，

解得 ， .

（Ⅱ）證明：當時，由， ①

得， ②

將①，②兩式相減，得 ,

化簡，得，其中.

因為，

所以 ，其中.

因為 為常數，

所以數列為等比數列.

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，

所以， 11分

又因為，

所以不等式 化簡為，

當時，考察不等式的解，

由題意，知不等式的解集為，

因為函數在R上單調遞增，

所以只要求 且即可，

解得；

當時，考察不等式的解，

由題意，要求不等式的解集為，

因為，

所以如果時不等式成立，那么時不等式也成立，

這與題意不符，舍去.

所以， .