Question

【題目】（12分）若數列{an}是的遞增等差數列，其中的a3=5，且a1，a2，a5成等比數列，

（1）求{an}的通項公式；

（2）設bn= ，求數列{bn}的前項的和Tn．

（3）是否存在自然數m，使得 ＜Tn＜對一切n∈N*恒成立？若存在，求出m的值；

若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） an= 2n﹣1；（2）（1﹣）=；（3）存在；理由見解析.

【解析】試題分析：（1）由于{}為等差數列， ,,,成等比數列，可設出數列{}的公差為，列方程組即可求出;（2）在求出{}的通項公式后，求出{}的通項公式，再應用裂項相消法即可求;(3)需先求Tn的值域，要使得恒成立，則需區間()包含Tn的值域即可.

試題解析：

（1）在等差數列中，設公差為d≠0，

由題意，∴，解得．

∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

（2）由（1）知，an=2n﹣1．

則bn=

所以Tn=

（3）Tn+1﹣Tn=,

∴{Tn}單調遞增，∴Tn≥T1=．∵Tn=∴≤Tn＜, 使得恒成立,只需

解之得,又因為m是自然數，∴m=2．