【題目】已知橢圓
的方程為
，長軸是短軸的
倍，且橢圓過點
，斜率為
的直線
過點
，坐標平面上的點
滿足到直線的距離為定值
.
（1）寫出橢圓方程；
（2）若橢圓上恰好存在
個這樣的點，求的值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由長軸長和短軸長關系、橢圓上點的坐標和橢圓
的關系可構造方程組求得，進而得到橢圓方程；
（2）將問題轉化為與直線
的距離為
的兩條平行線與橢圓
恰有三個交點；假設平行直線方程為
，與橢圓方程聯立確定
，由
和平行直線間距離公式得到關于
的方程，可求得
的值；代回驗證得到恰有三個交點的情況，由此得到結果.
（1）由題意可知：
，解得：
橢圓方程為：
（2）由題意可知，與直線的距離為的兩條平行線與橢圓恰有三個交點
直線的方程為
可設與直線平行的直線方程為：
聯立方程
得：
…①
當時，
…②
由兩平行線間的距離為，可得：
…③
將②代入③得：
，解得：
或
⑴當時，代入②得：
，代回③得：或
當，時，由①知
，此時兩平行線
和
與橢圓只有一個交點，不符合題意
⑵當時，代入②得：
，代回③得：或
當，時，由①知
，此時兩平行線
和
與橢圓有三個交點
高中必刷題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某賽季甲、乙兩位運動員每場比賽得分的莖葉圖如圖所示.
（1）從甲、乙兩人的這5次成績中各隨機抽取一個，求甲的成績比乙的成績高的概率；
（2）試用統計學中的平均數、方差知識對甲、乙兩位運動員的測試成績進行分析.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，已知圓
及點
，
．
（1）若直線
平行于
，與圓
相交于
，
兩點，
，求直線
的方程；
（2）在圓
上是否存在點
，使得
？若存在，求點的個數；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在下列命題中，正確命題的序號為 （寫出所有正確命題的序號）．
①函數
的最小值為
；
②已知定義在
上周期為4的函數
滿足
，則一定為偶函數；
③定義在上的函數既是奇函數又是以2為周期的周期函數，則
；
④已知函數
，則
是有極值的必要不充分條件；
⑤已知函數
，若
，則
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直四棱柱
中，底面
是邊長為2的正方形， 
分別為線段
， 
的中點.
(1)求證： 
||平面
；
(2)四棱柱
的外接球的表面積為
，求異面直線
與
所成的角的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質量分別在
，
，
，
，
，
（單位：克）中，經統計，頻率分布直方圖如圖所示：
（1）估計這組數據的平均數（同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表）；
（2）現按分層抽樣從質量為，的芒果中隨機抽取5個，再從這5個中隨機抽取2個，求這2個芒果都來自同一個質量區間的概率；
（3）某經銷商來收購芒果，同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表，用樣本估計總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有1000個，經銷商提出以下兩種收購方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收購
方案②：對質量低于250克的芒果以2元/個收購，對質量高于或等于250克的芒果以3元/個收購.通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多.
參考數據：
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】．
為了解某校高三學生質檢數學成績分布，從該校參加質檢的學生數學成績中抽取一個樣本，并分成5組，繪成如圖所示的頻率分布直方圖．若第一組至第五組數據的頻率之比為
，最后一組數據的頻數是6．
（Ⅰ）估計該校高三學生質檢數學成績在125～140分之間的概率，并求出樣本容量；
（Ⅱ）從樣本中成績在65～95分之間的學生中任選兩人，求至少有一人成績在65～80分之間的概率．
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