Question

【題目】已知數列{an}滿足a1= ，an+1= （n∈N*）．
（1）設bn= ﹣1，證明：數列{bn}是等比數列，并求數列{an}的通項公式an；
（2）記數列{nbn}的前n項和為Tn ， 求證：Tn＜4．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1= （n∈N*），

∴ = = + ，

整理得： ﹣1= （ ﹣1），

∵bn= ﹣1，

∴數列{bn}是公比為 的等比數列，

又∵b1= ﹣1=2﹣1=1，

∴bn= ﹣1= ，

∴an= =

（2）證明：由（1）可知nbn=n ，

則Tn=1 +2 +3 +…+n ，

Tn=1 +2 +3 +…+（n﹣1） +n ，

兩式相減得： Tn=1+ + + +…+ ﹣n

= ﹣n

=2﹣ ，

∴Tn=2（2﹣ ）=4﹣ ＜4

【解析】（1）通過對an+1= 兩邊同時取倒數可知 = + ，變形可知 ﹣1= （ ﹣1），進而可知數列{bn}是公比為 的等比數列，通過求出數列{bn}的通項公式可知數列{an}的通項公式；（2）通過（1）可知nbn=n ，進而利用錯位相減法計算、放縮即得結論．
【考點精析】本題主要考查了等比數列的通項公式（及其變式）和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握通項公式：；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．