Question

已知是偶函數.

(1)求的值；

(2)證明:對任意實數,函數的圖像與直線最多只有一個交點；

(3)設若函數的圖像有且只有一個公共點,求實數的取值范圍.

 

Answer 1

(1)；(2)證明見解析；(3).

【解析】

試題分析：(1)由，并進行檢驗；(2)原問題等價于證明方程組

最多只有一組解，即證方程最多只有一個實根，利用反證法證明該方程不可能有兩個實根，所以原命題得證；(3)問題轉化為方程:只有唯一解，令，則可化為關于的方程：只有唯一正根，注意討論二次項系數為0和不為0兩種情形，當二次項系數不為0時，利用二次函數根的判定方法，最終可以得到所求實數的取值范圍.

試題解析：【解析】
(1)由 經檢驗的滿足題意； 2分

(2)證明:即證方程組最多只有一組解，

即證方程最多只有一個實根. 4分

下面用反證法證明:

假設上述方程有兩個不同的解則有：

.

但時，不成立.

故假設不成立.從而結論成立. 7分

(3)問題轉化為方程:只有唯一解. 9分

令，則可化為關于的方程：只有唯一正根. 10分

若,則上述方程變為,無解.故 11分

若二次方程(*)兩根異號,即.此時方程(*)有唯一正根,滿足條件； 12分

若二次方程(*)兩根相等且為正,則. 13分

故的取值范圍是:. 14分

考點：偶函數，函數與方程，二次函數.