Question

【題目】已知橢圓 的右焦點為，且點在橢圓上，為坐標原點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且，求直線的斜率的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】試題分析：（1）利用右焦點為，求出,得到,通過點, 在橢圓上，得到，求出 、的值可得橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為，點 ，由得，利用韋達定理以及 ，結合判別式的符號，可求解的范圍.

試題解析：(1) 由題意得：

因為 點 在橢圓C上 解得：

橢圓方程為.

（2）設直線的方程為，點，點

由得

，

由得或，

即

，

解得，的取值范圍是或.

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和數量積公式，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.