Question

設的定義域為,的導函數為,且對任意正數均有，
(1)判斷函數在上的單調性；
(2)設，比較與的大小，并證明你的結論；
(3)設，若，比較與的大小，并證明你的結論．

Answer 1

(Ⅰ) 在上是增函數.
(Ⅱ) .
（Ⅲ）

(Ⅰ)由于得，，而，則，
則，因此在上是增函數.
(Ⅱ)由于，，則，而在上是增函數，
則，即，∴（1），
同理 （2）
（1）+（2）得：，而，
因此 .
（Ⅲ）證法1: 由于，，則，而在上是增函數，則，即，
∴
同理

以上個不等式相加得：

而

證法2：數學歸納法
（1）當時，由（Ⅱ）知，不等式成立；
（2）當時，不等式成立，
即成立，
則當時， +
再由(Ⅱ)的結論, +
+
因此不等式對任意的自然數均成立.